Модель С3А начала выпускаться в 1958 году и стала второй работой недавно сформированного конструкторского отдела Серпуховского мотоциклетного завода. Было решено, что мотоколяске предыдущей модели С3Л нужно придать больше «автомобильности».

Вместо передней подвески и руля мотоциклетного типа поставили подвеску и рулевое управление от малолитражки НАМИ-031, не пошедшей в серию. Передок оформили более симпатично, установили немного более мощный двигатель с электростартером (при этом рычаг для ручного запуска был сохранён), автомобильным генератором постоянного тока и вентилятором принудительного охлаждения (который охлаждая двигатель одновременно забирал часть его мощности). Также впервые в отечественной истории было применено реечное рулевое управление.

Главной проблемой было то, что, будучи по сути своего рода моторизованной инвалидной коляской, не предназначенной для дальних и длительных поездок, в условиях дефицита обычных автомобилей, мотоколяска С3А была в тоже время наделена частичной функциональностью обычного двухместного микроавтомобиля, пригодного для эксплуатации по дорогам общего пользования.

После фильма Леонида Гайдая «Операция „Ы“ и другие приключения Шурика» автомобиль-мотоколяска получил народное прозвище «моргуновка» (в фильме мотоколяской управлял персонаж Бывалый, сыгранный актёром Евгением Моргуновым).